ちくわこんぶの数学メモ

私的な覚え書きです

複素対数関数

複素対数関数

{ \displaystyle \log z = \log \left| z \right| + i \arg z }

{ \arg z}は，{ z}の偏角を返す関数です．

ですが，一般に複素数{ z}は偏角を{ 2 \pi}増やしたり，減らしたりしても元の複素数と変わりません．

つまり{ z}の偏角は？と聞かれても，答えは無限個あります．

正確に言うと，{ \arg z}の解は{ \pm 2 n \pi ( n \in \mathbb{N} )}の自由度があるということです．

ということは，冒頭の複素対数関数は無限個の値を返すことになります．
このような関数を多価関数と呼びます．

では，なぜ対数関数の複素数バージョンは，こんなにも扱いにくそうな形になってしまうのでしょうか．

導出

複素対数関数の定義は，以下のように考えるのが自然です．

{ \displaystyle \log z = w \Leftrightarrow e ^{w} = z }

{ w = x + i y ( x , y \in \mathbb{R} )}とすると，

{ \displaystyle e ^{w} = e ^{x + i y} }
{ \displaystyle \phantom{e ^{w}} = e ^{x} e ^{i y} }

{ \displaystyle e ^{x} e ^{i y} = z }
という等式について，絶対値と偏角を比較しましょう．

{ \displaystyle \left| e ^{x} e ^{i y} \right| = e ^{x} }
{ \displaystyle \phantom{\left| e ^{x} e ^{i y} \right|} = \left| z \right| }
なので，両辺対数を取って，
{ \displaystyle x = \log \left| z \right| }

{ \displaystyle \arg e ^{x} e ^{i y} = y }
{ \displaystyle \phantom{e ^{x} e ^{i y}} = \arg z }
よって
{ \displaystyle y = \arg z }

以上より，
{ \displaystyle \log z = w }
{ \displaystyle \phantom{\log z} = x + i y }
{ \displaystyle \phantom{\log z} = \log \left| z \right| + i \arg z }