トレミーの定理の証明複素平面編 - ちくわこんぶの数学メモ

トレミーの定理

${ \displaystyle AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD }$

今回はこのトレミーの定理を，複素数平面を用いて証明します．

各点 ${ A , B , C , D}$ をそれぞれ複素数平面上の点 ${ A , B , C , D}$ と同一視します．つまり以下では ${ A , B , C , D}$ は全て異なる複素数です．

四点は全て同一円周上にあるので，円周角の定理より，
${ \displaystyle \angle CAB = \angle CDB }$
${ \displaystyle \mathrm{arg} \left\{ \frac{B - A}{C - A} \right\} = \mathrm{arg} \left\{ \frac{B - D}{C - D} \right\} }$
${ \displaystyle \mathrm{arg} \left\{ \frac{B - A}{C - A} \right\} - \mathrm{arg} \left\{ \frac{B - D}{C - D} \right\} = 0 }$
${ \displaystyle \mathrm{arg} \left\{ \frac{B - A}{C - A} \right\} + \mathrm{arg} \left\{ \frac{C - D}{B - D} \right\} = 0 }$
${ \displaystyle \mathrm{arg} \left\{ \frac{B - A}{C - A} \cdot \frac{C - D}{B - D} \right\} = 0 }$
つまり，
${ \displaystyle \bf \frac{B - A}{C - A} \cdot \frac{C - D}{B - D} }$ は正の実数ということがわかります．

同様にして，
${ \displaystyle \angle ADB = \angle ACB }$
から，
${ \displaystyle \bf \frac{A - D}{B - D} \cdot \frac{B - C}{A - C} }$ は正の実数ということもわかります．

正の実数ということは，
${ \displaystyle \left| \frac{B - A}{C - A} \cdot \frac{C - D}{B - D} \right| = \left| \frac{B - A}{C - A} \right| \cdot \left| \frac{C - D}{B - D} \right| }$
${ \displaystyle \phantom{\left| \frac{B - A}{C - A} \cdot \frac{C - D}{B - D} \right|} = \frac{B - A}{C - A} \cdot \frac{C - D}{B - D} }$
${ \displaystyle \left| \frac{A - D}{B - D} \cdot \frac{B - C}{A - C} \right| = \left| \frac{A - D}{B - D} \right| \cdot \left| \frac{B - C}{A - C} \right| }$
${ \displaystyle \phantom{\left| \frac{A - D}{B - D} \cdot \frac{B - C}{A - C} \right|} = \frac{A - D}{B - D} \cdot \frac{B - C}{A - C} }$
が成り立ちます．

以上より，
${ \displaystyle \frac{AB}{AC} \cdot \frac{CD}{BD} + \frac{AD}{BD} \cdot \frac{BC}{AC} }$
${ \displaystyle = \left| \frac{B - A}{C - A} \right| \cdot \left| \frac{C - D}{B - D} \right| + \left| \frac{A - D}{B - D} \right| \cdot \left| \frac{B - C}{A - C} \right| }$
${ \displaystyle = \frac{B - A}{C - A} \cdot \frac{C - D}{B - D} + \frac{A - D}{B - D} \cdot \frac{B - C}{A - C} }$
${ \displaystyle = \frac{( B - A ) ( C - D ) - ( A - D )(B - C )}{( C - A ) ( B - D )} }$
${ \displaystyle = 1 }$

つまり，
${ \displaystyle \frac{AB}{AC} \cdot \frac{CD}{BD} + \frac{AD}{BD} \cdot \frac{BC}{AC} = 1 }$
${ \displaystyle AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD }$ となります．