sinc関数の広義積分複素積分編 - ちくわこんぶの数学メモ

複素積分を用いて，以下を示します．

${ \displaystyle \Large \int _{0} ^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2} }$

導入

次の複素積分を考えましょう．
${ \displaystyle \large \int _{C} \frac{e ^{i z}}{z} dz \hspace{50pt} \left( 1 \right) }$
コース ${ C}$ は以下の図の ${ C _1 , C _2 , C _3 , C _4}$ の和です．
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細かく言うと， ${ C}$ たちは以下のように定義しています．
${ \displaystyle C = C _{1} + C _{2} + C _{3} + C _{4} }$
${ \displaystyle C _{1} = \{ R e ^{i t} | t \in [ 0 , \pi ] \} }$
${ \displaystyle C _{2} = \{ ( 1 - t ) ( - R ) + t ( - r ) | t \in [ 0 , 1 ] \} }$
${ \displaystyle C _{3} = \{ - r e ^{ - i t} | t \in [ 0 , \pi ] \} }$
${ \displaystyle C _{4} = \{ ( 1 - t ) r + t R | t \in [ 0 , 1 ] \} }$
経路の向きは ${ t}$ の増加方向です．

(1)の右辺

複素関数 $e ^{z}$ は ${ \mathbb{C}}$ 全域で正則です．よって被積分関数 $\frac{e ^{i z}}{z}$ は原点 ${ 0}$ のみが特異点で，それ以外の領域 ${ \mathbb{C} \backslash \{ 0 \}}$ では正則となります．
コース ${ C}$ には原点が含まれていないため，式(1)の右辺は ${ 0}$ になります．

${ \displaystyle \large \int _{C} \frac{e ^{i z}}{z} dz = 0 }$

${ C _{2} + C _{4}}$

ここで，コース ${ C _{2}}$ とコース ${ C _{4}}$ は実軸上なので，実はただの実積分です．

${ \displaystyle \int _{C _{2}} \frac{e ^{i z}}{z} dz + \int _{C _{4}} \frac{e ^{i z}}{z} dz }$

${ \displaystyle = \int _{- R} ^{- r} \frac{e ^{i x}}{x} dx + \int _{r} ^{R} \frac{e ^{i x}}{x} dx }$

${ \displaystyle = \int _{R} ^{r} \frac{e ^{- i x}}{- x} ( - dx) + \int _{r} ^{R} \frac{e ^{i x}}{x} dx }$

${ \displaystyle = \int _{R} ^{r} \frac{e ^{- i x}}{x} dx + \int _{r} ^{R} \frac{e ^{i x}}{x} dx }$

${ \displaystyle = \int _{r} ^{R} \frac{e ^{i x} - e ^{- i x}}{x} dx }$

${ \displaystyle = \int _{r} ^{R} \frac{e ^{i x} - e ^{- i x}}{2 i} \frac{2 i}{x} dx }$

${ \displaystyle = 2 i \int _{r} ^{R} \frac{\sin x}{x} dx }$

${ \displaystyle = 2 i I ( r , R) }$

ここで，最後に積分値を文字で置いたのは
${ \displaystyle \int _{0} ^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \lim _{(r , R) \to (0 , \infty)} I (r , R) }$
と表されるからです．
これは目標の式と同じですね．

${ C _{1}}$

この項では以下の重要な定理を用います．

${ l ( C )}$ を曲線 ${ C}$ の長さ， ${ C}$ 上で ${ \displaystyle \left| f ( z ) \right| \leq M \in \mathbb{R} }$ のとき，
${ \displaystyle \left| \int _{C} f ( z ) dz \right| \leq M \cdot l ( C ) }$

この定理は，以下の実積分の定理

${ f ( x ) \leq M}$ のとき，
${ \displaystyle \int _{a} ^{b} f ( x ) dx \leq M ( b - a ) }$

を複素積分に拡張したものになっています．
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では， ${ \displaystyle \int _{C _{1}} \frac{e ^{i z}}{z} dz }$ にこの定理を適用してみましょう．
${ C _{1}}$ 上では ${ z = R e ^{i t}}$ と表されるので，
${ \displaystyle \left| z \right| = R }$ です．

また， ${ x , y \in \mathbb{R} , y \geq 0}$ を用いて ${ z = x + i y}$ と表すと，
${ \displaystyle e ^{i z} = e ^{ - y + i x} }$ より，
${ \displaystyle \left| e ^{i z} \right |= \left| e ^{ - y } e ^{ i x} \right| }$
${ \displaystyle \phantom{ \left| e ^{i z} \right| } = e ^{ - y } }$
よって定理より，
${ \displaystyle \left| \int _{C _{1}} \frac{e ^{i z}}{z} dz \right| \leq \frac{e ^{- y}}{R} \cdot \pi R }$
${ \displaystyle \phantom{\left| \int _{C _{1}} \frac{e ^{i z}}{z} dz \right|} = \frac{\pi}{e ^{y}} }$
ここで， ${ R \to \infty}$ のとき ${ y \to \infty}$ なので，
${ \displaystyle \left| \int _{C _{1}} \frac{e ^{i z}}{z} dz \right| \leq \frac{\pi}{e ^{y}} \to 0 }$ です．
つまり，
${ \displaystyle \large \int _{C _{1}} \frac{e ^{i z}}{z} dz \to 0 ( R \to \infty ) }$
がわかります．

${ C _{3}}$

${ C _{3}}$ は時計回りで計算しにくいので，反時計回りの
${ C' _{3} = - C _{3}}$
${ \phantom{C' _{3}} = \{ r e ^{i t} | t \in [ 0 , \pi ] \} }$
を使って考えます．
もちろん， ${ \displaystyle \int _{C' _{3}} \frac{e ^{i z}}{z} dz = - \int _{C _{3}} \frac{e ^{i z}}{z} dz }$ です．

複素指数関数 ${ e ^{z}}$ の定義を確認してみましょう．

${ \displaystyle e ^{z} = \sum _{k = 0} ^{\infty} \frac{z ^{k}}{k !} }$

これを被積分関数 ${ \displaystyle \frac{e ^{i z}}{z} }$ に代入してみます．
${ \displaystyle \frac{e ^{i z}}{z} = \sum _{k = 0} ^{\infty} \frac{i ^{k} z ^{k - 1}}{k !} }$

${ k}$ について場合分けするために，
${ \displaystyle a _{k} = \frac{i ^{k} z ^{k - 1}}{k !} }$
と置きます．

${ C' _{3}}$ 上では ${ z = r e ^{i t}}$ と表されるので，
${ \displaystyle \frac{dz}{dt} = i r e ^{i t} }$ なので，
${ \displaystyle \int _{C' _{3}} a _{k} = \int _{C' _{3}} \frac{i ^{k} z ^{k - 1}}{k !} dz }$
${ \displaystyle \phantom{\int _{C' _{3}} a _{k}} = \int _{0} ^{\pi} \frac{i ^{k} ( r e ^{i t} ) ^{k - 1}}{k !} i r e ^{i t} dt }$
${ \displaystyle \phantom{\int _{C' _{3}} a _{k}} = \frac{i ^{k + 1} r ^{k}}{k !} \int _{0} ^{\pi} e ^{i k t} dt }$

${ k = 0}$ の場合
${ \displaystyle \int _{C' _{3}} a _{0} = i \int _{0} ^{\pi} dt }$
${ \displaystyle \phantom{\int _{C' _{3}} a _{k}} = i \pi }$
${ k \neq 0}$ の場合
${ \displaystyle \int _{C' _{3}} a _{k} = \frac{i ^{k + 1} r ^{k}}{k !} \int _{0} ^{\pi} e ^{i k t} dt }$
${ \displaystyle \phantom{\int _{C' _{3}} a _{k}} = \frac{i ^{k + 1} r ^{k}}{k !} \left[ \frac{e ^{i k t}}{i k} \right] _{0} ^{\pi} }$
${ \displaystyle \phantom{\int _{C' _{3}} a _{k}} = \frac{i ^{k} r ^{k}}{k \cdot k !} \left[ e ^{i k t} \right] _{0} ^{\pi} }$
${ \displaystyle \phantom{\int _{C' _{3}} a _{k}} = \frac{i ^{k} r ^{k}}{k \cdot k !} \left\{ ( - 1 ) ^{k} - 1 \right\} }$

以上より，

${ \displaystyle \lim _{r \to 0} \int _{C' _{3}} a _{k} = \begin{cases} i \pi & ( k = 0) \\ 0 & ( k \neq 0 ) \end{cases} }$

よって，
${ \displaystyle \lim _{r \to 0} \int _{C _{3}} \frac{e ^{i z}}{z} dz = - \lim _{r \to 0} \int _{C' _{3}} \frac{e ^{i z}}{z} dz }$
${ \displaystyle \phantom{\lim _{r \to 0} \int _{C _{3}} \frac{e ^{i z}}{z} dz} = - \lim _{r \to 0} \int _{C' _{3}} \sum _{k = 0} ^{\infty} a _{k} dz }$
${ \displaystyle \phantom{\lim _{r \to 0} \int _{C _{3}} \frac{e ^{i z}}{z} dz} = - \sum _{k = 0} ^{\infty} \left( \lim _{r \to 0} \int _{C' _{3}} a _{k} dz \right) }$
${ \displaystyle \phantom{\lim _{r \to 0} \int _{C _{3}} \frac{e ^{i z}}{z} dz} = - i \pi }$

${ C}$

以上のことをまとめます．

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \int _{C} \frac{e ^{i z}}{z} dz & = & 0 \\ \int _{C _{1}} \frac{e ^{i z}}{z} dz + \int _{C _{2}} \frac{e ^{i z}}{z} dz + \int _{C _{3}} \frac{e ^{i z}}{z} dz + \int _{C _{4}} \frac{e ^{i z}}{z} dz & = & 0 \\ \int _{C _{1}} \frac{e ^{i z}}{z} dz - \int _{C' _{3}} \frac{e ^{i z}}{z} dz + 2 i \int _{r} ^{R} \frac{\sin x}{x} dx & = & 0 \\ 2 i \int _{r} ^{R} \frac{\sin x}{x} dx & = & \int _{C' _{3}} \frac{e ^{i z}}{z} dz - \int _{C _{1}} \frac{e ^{i z}}{z} dz \\ \lim _{( r , R ) \to ( 0 , \infty)} 2 i \int _{r} ^{R} \frac{\sin x}{x} dx & = & i \pi - 0 \\ 2 i \int _{0} ^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx & = & i \pi \\ \int _{0} ^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx & = & \frac{\pi}{2} \end{eqnarray} }$