sinc関数の広義積分 - ちくわこんぶの数学メモ

${ \displaystyle \Large \int ^{\infty} _{0} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2} }$

${ \displaystyle f ( t ) = \int ^{\infty} _{0} e ^{- tx} \frac{\sin x}{x} dx }$

と置く．
これを $t$ で微分すると，

${ \displaystyle f' ( t ) = - \int ^{\infty} _{0} e ^{- tx} \sin x dx }$

ここで，

${ \displaystyle \int e ^{ax} \sin {bx} dx = \frac{e ^{ax}}{a ^{2} + b ^{2}} ( a \sin {bx} - b \cos {bx}) }$

より，

${ \displaystyle f' ( t ) = - [ \frac{e ^{- tx}}{1 + t ^{2}} ( - t \sin x - \cos x) ] ^{\infty} _{0} }$

${ \displaystyle \phantom{f' ( t )} = [ \frac{e ^{- tx}}{1 + t ^{2}} ( t \sin x + \cos x) ] ^{\infty} _{0} }$

${ \displaystyle \phantom{f' ( t )} = - \frac{1}{1 + t ^{2}} }$

また，全ての ${ t \in \mathbb{R}}$ について，

${ \displaystyle \int ^{t} _{0} f' ( s ) ds = f ( t ) - f ( 0 ) }$

なので，

${ \displaystyle ( 左辺 ) = - \int ^{t} _{0} \frac{1}{1 + s ^{2}} ds }$

${ \displaystyle \phantom{( 左辺 ) }= - \mathrm{Tan} ^{- 1} t }$

${ \displaystyle ( 右辺 ) = \int ^{\infty} _{0} e ^{- tx} \frac{\sin x}{x} dx - \int ^{\infty} _{0} \frac{\sin x}{x} dx }$

ここで ${ t \to \infty}$ の極限をとると，

${ \displaystyle ( 左辺 ) \to - \frac{\pi}{2} }$

${ \displaystyle ( 右辺 ) \to 0 - \int ^{\infty} _{0} \frac{\sin x}{x} dx }$

よって

${ \displaystyle \int ^{\infty} _{0} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2} }$